Exercice 1

On considère une particule qui se déplace dans un champ de force :

1)      calculer le travail reçu par la particule, en fonction de a :

a.       si elle se déplace en ligne droite du point O (0, 0) au point A (2, 4).

b.      si elle se déplace de O en A suivant le trajet OA’A (A’ étant la projection de A sur Ox)

c.       si elle se déplace de O en A suivant OA’’A (A’’ étant la projection de A sur Oy)

Conclusions ?

2)      Calculer en fonction de a le travail reçu par la particule qui effectue un tour le long d’un cercle de rayon 2 centré sur O (dans le sens trigonométrique)

3)      Pour quelle valeur de a le champ de forces dérive-t-il d’un potentiel V. Déterminer V (x, y) (Méthode devinette). Conclusions ?

Rappel : Un E en sous ensemble de R³. Un champ vectoriel défini sur R³ est une fonction qui fait correspondre à chaque point  (x, y, z) de E un vecteur de dimension trois

Si est une fonction scalaire de trois variables, son gradient est un champ vectoriel  défini sur R³ par :

Un champ vectoriel est dit champ vectoriel conservatif s’il est le gradient d’une certaine fonction scalaire, c’est-à-dire s’il existe une fonction telle que . Dans cette situation, est appelée fonction potentiel  

Dans ce cas, on montre que l’intégrale selon le chemin C est indépendante du chemin et ne dépend que des extrémités A et B du chemin et on a :

La différence est la différence de potentiel entre A et B.

Le moyen le plus simple de vérifier qu’un champ vectoriel est conservatif est de vérifier que

Le travail  de la force F le long du chemin C est l’intégrale curviligne :

où est le vecteur unitaire tangent et s l’abscisse curviligne.

Solution

1-Travail reçu par la particule.

a-      Déplacement en ligne droite OA.

PREMIERE METHODE

La particule se déplace sur la droite OA d’équation .

Le travail élémentaire de la force est
                                                                  

Par conséquent :                                                

DEUXIEME METHODE

On utilise les équations paramétriques. Cette méthode est souvent plus simple et plus rapide.

Il est utile de connaître l’expression qui permet d’obtenir simplement l’équation vectorielle en fonction du paramètre t d’un segment de droite AB.

               

b-      déplacement OA’A

On décompose le déplacement selon OA’ et A’A

Le long de OA’ :

                                                                                              

Le long de A’A :

                                                                                              

Le long de OA'A :                                            

c-      déplacement OA’’A

Même raisonnement :

On décompose le déplacement selon OA’’ et A’’A

Le long de OA’’ :

                                                                                              

Le long de A’’A :

                                                                                               

Le long de OA'’A :                                           

CONCLUSION : Le travail reçu dépend du chemin parcouru, par conséquent le champ de force n’est pas conservatif.

Note : il était facile de déterminer que le champ n’est pas conservatif.

En effet :

                                                                                                

2-     Travail reçu par la particule (trajectoire circulaire).

La trajectoire est définie par les équations paramétriques . Et donc les déplacements élémentaires sont

Dés lors, on a la force qui agit sur la particule est :

                                                                                                 

Et le travail est :

                                                                                                

  

        

3-     Potentiel

 

Le champ dérive d’un potentiel si , par définition, .

On vérifie facilement que le champ est conservatif (donc dérive d’un potentiel) si

Par conséquent :

                                                                                                      

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Exercice 2

Une particule se déplace dans le champ de forces

suivant la trajectoire :

1)       

a.       Calculer la puissance reçue par la particule à l’instant t.

b.      Quelle est la position de la particule lorsque cette puissance est minimale.

2)       

a.       Que vaut le travail fourni par le champ de forces entre t = 0 et t = 2 s ?

b.      Que vaut le travail si la particule est astreinte à se déplacer en ligne droite de sa position à l’instant t₁ = 0 à sa position à l’instant t₂ = 2s

Conclusions ?

 

Solution

1)

a)      Puissance reçue

 

                         

b)      Puissance minimale

 

2)

a)      Travail fourni

b)      Déplacement en ligne droite

                               

Par conséquent, le champ n’est pas conservatif, puisque le travail fourni dépend du chemin.

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Exercice 3

Une caisse de 12 kg est lâchée du sommet d’un plan incliné de 5 m de long qui fait un angle de 40° avec l’horizontale. Une force de frottement de 60 N s’oppose au mouvement.

1)      Quelle est l’accélération de la caisse ?

2)      Après combien de temps arrive-t-elle à la base du plan incliné ?

3)      Que vaut le coefficient de frottement ?

Solution